Les niveaux de Fibonacci

Les travaux de Fibonacci appliqués au trading

Leonardo Fibonacci

Mathématicien Italien (né à Pise, 1175 – 1250) dit « Leonardo Pisano » il est surtout à l’origine du développement des chiffres Indo-Arabe en occident. Fibonacci (du latin Filius Bonaccio — fils de Bonaccio – son père Guglielmo Bonacci est marchand et notaire public des douanes) est mondialement connu pour la suite de Fibonacci dans le cadre de son travail sur la théorie des nombres.

Leonardo Fibonacci (1175 – 1250)

Leonardo Fibonacci est éduqué en grande partie en Algérie et étudie longuement le savoir mathématique des Musulmans (les Persan Al-Khwarizmi et Al-Karaji, de l’Égyptien Abu Kamil). Il voyage et rencontre de nombreux mathématiciens; il synthétise ses études et conceptions dans des ouvrages qu il publie :

Liber abaci (1202)
Practica Geometriae (1220)
Liber quadratum (1225)
Flos (1225)

Carte Pise – Algérie – Egypte

La suite de Fibonacci

Le problème de Fibonacci

La suite de Fibonacci décrit un problème mathématique qui est la croissance d’une population de lapins dans le livre Liber abaci.

« Quelqu’un a déposé un couple de lapins dans un certain lieu, clos de toutes parts, pour savoir combien de couples seraient issus de cette paire en une année, car il est dans leur nature de générer un autre couple en un seul mois, et qu’ils enfantent dans le second mois après leur naissance. »

Mathématisation du problème des lapins

$Le n$ -ième terme correspond au nombre de paires de lapins au $n$ -ième mois.

au début du premier mois, il y a juste une paire de lapereaux ;
les lapins ne peuvent procréer qu’après deux mois d’existence ;
chaque début de mois, toute paire susceptible de procréer engendre exactement une nouvelle paire de lapereaux ;
les lapins ne meurent jamais (donc la suite de Fibonacci est croissante).

Soit Fn le nombre de couples de lapins au début du mois $n$ . Jusqu’à la fin du deuxième mois, la population se limite à un couple (ce qu’on note :F1 = F2 = 1).

Dès le début du troisième mois, le couple de lapins a deux mois et il engendre un autre couple de lapins ; on note alors F3 = 2.

Au mois $n,$ exprimons ce qu’il en sera deux mois plus tard, soit au mois $n + 2$ : F(n+2) désigne la somme des couples de lapins au mois $n + 1$ et des couples nouvellement engendrés.

Or, n’engendrent au mois $n + 2$ que les couples pubères, c’est-à-dire ceux qui existent deux mois auparavant. On a donc, pour tout entier $n$ strictement positif :

F(n+2) = F(n+1) + FnOn choisit alors de poser F0 = 0, de manière que cette équation soit encore vérifiée pour $n = 0$ .

Définition de la suite de Fibonacci

On obtient ainsi la forme récurrente de la suite de Fibonacci : chaque terme de cette suite est la somme des deux termes précédents ; pour obtenir chacun de ces deux termes, il faut faire la somme de leurs termes précédents… et ainsi de suite, jusqu’à ce que ces deux termes soient les deux termes initiaux, F1 et F0, qui sont connus.

La suite de Fibonacci est donc :

0 – 1 – 1 – 2 – 3 – 5 – 8 – 13 – 21 – 34 – 55 – 89 – 144 – 233 – 377 – 610 – 987….

Le nombre d’or

Le nombre d’or est aussi appelé divine proportion (« s’il y de la petite partie à la grande le même rapport que de la grande au tout »)

Un segment est coupé en deux selon la divine proportion si :

« le long est au moyen ce que

le moyen est au petit ».

La résolution donne 2 nombres (équation du second degré) dont 1,618 qui est le nombre d’or

Si nous revenons à la suite de Fibonacci, le nombre d’or est le nombre vers lequel converge le rapport entre deux nombres successifs de la suite de Fibonacci.

0 – 1 – 1 – 2 – 3 – 5 – 8 – 13 – 21 – 34 – 55 – 89 – 144 – 233 – 377 – 610 – 987….

3/2 = 1,5

5/3 = 1,66666

8/5 = 1,6

13/8 = 1,625

987 / 610 = 1,6180327

Ce nombre d’or apparaît dans les constructions géométrie et dans la nature, notamment en botanique (nombre de feuilles, de graines), on le retrouve également en architecture par exemple dans la construction du Parthénon et d’autres édifices de l’Antiquité sans savoir si le nombre d’or a été utilisé à l’époque.

Les retracements de Fibonacci en trading

A partir du nombre d’or et de la suite de Fibonacci des pourcentage de retracements sont définis. Ses zones définissent des supports (dans le cas d’une tendance haussière) et résistances (dans le cas d’une tendance baissière)

Ces ratios de retracement sont calculés à partir d’une base et de nombres de la suite

Prenons en base le nombre 55
55/55 = 1 donne le retracement Fibonacci 100%
34/55 = 0,618 donne le retracement Fibonacci 61,80%
21/55 = 0,382 donne le retracement Fibonacci 38,20%
13/55 = 0,236 donne le retracement Fibonacci 23,60%

Si un rallye haussier vient de se produire, le retracement de Fibonacci est rajouté sur le graphique en partant du point le plus bas jusqu’au point le plus haut du parcours haussier.

Si un rallye baissier vient de se produire, le retracement de Fibonacci est rajouté sur le graphique en partant du point le plus haut jusqu’au point le plus bas du rallye baissier.

Cette zone représente les 100% de base sur lesquelles les retracements vont être positionnés.

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